Постановка задачи
Существуют разные интерпретации парадокса, самая известная из которых предлагает угадать, какая из трех закрытых дверей, ящиков и т д является главным призом. Классическая трактовка связана с машиной и козами, ну а мы рассмотрим свой вариант.
Вы являетесь участником шоу. Есть три сундука, один из которых наполнен золотом, два других пусты. Мошенники исключены, сокровища действительно лежат в одном из сундуков. Участник должен сделать выбор, указав на сундук, не проверяя содержимое. После этого ведущий открывает один из двух других сундуков и обнаруживает, что он пуст. Участник оказывается перед дилеммой — придерживаться того же мнения или изменить его, выбрав другой гроб.
Послесловие
Проблема Монти Холла — не первая известная формулировка этой проблемы. В частности, в 1959 г. Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American аналогичную задачу «о трех заключенных» (Three Prisoners Problem) со следующей формулировкой: «Из трех заключенных один должен быть помилован, а двое — казнены. Заключенный А уговаривает гвардии сообщить ему имя двух других, которые будут казнены (либо, если оба будут казнены), после чего, получив имя Б, он считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время заключенный С утверждает, что вероятность побега стала 2/3, а для А ничего не изменилось?»
Однако Гарднер был не первым, так как еще в 1889 году в своем «Расчете вероятностей» французский математик Жозеф Бертран (не путать с англичанином Бертраном Расселом!) предлагает подобную задачу (см парадокс ящика Бертрана): « Есть три ящика, в каждом из которых по две монеты: в первом две золотые монеты, во втором две серебряные, а в третьем две разные монеты. Какова вероятность того, что монета, оставшаяся в коробке, золотая?»
Если вы понимаете решения всех трех проблем, легко заметить сходство между их идеями; математически все они объединены понятием условной вероятности, то есть вероятности события А, если известно, что произошло событие В. Самый простой пример: вероятность выпадения единицы на обычном кубике равна 1/6; но если известно, что выпавшее число нечетное, вероятность того, что это единица, уже равна 1/3. Проблема Монти Холла, как и две другие упомянутые проблемы, показывает, что с условными вероятностями нужно обращаться осторожно.
Эти проблемы также часто называют парадоксами: парадокс Монти Холла, книжный парадокс Бертрана (последний не следует путать с настоящим парадоксом Бертрана, приведенным в той же книге, доказавшим неоднозначность существовавшего в то время понятия вероятности) — который подразумевает определенное противоречие (например, в «Парадоксе лжеца» фразе «это утверждение ложно» противоречит закон исключенного третьего). Однако в этом случае нет противоречия со строгими утверждениями. Но налицо явное противоречие с «общественным мнением» или просто «очевидным решением» проблемы. Большинство людей, глядя на задачу, на самом деле считают, что после открытия одной из дверей вероятность найти приз за любой из двух оставшихся закрытыми равна 1/2. При этом они утверждают, что не имеет значения, согласны они или не согласны с изменением своего мнения. Кроме того, многим людям трудно понять ответ, отличный от этого, даже после того, как им рассказали подробное решение.
Объяснение роста вероятности
В отличие от интуитивного уровня, где наше сознание рассматривает событие после смены клетки как нечто отдельное и забывает о первом выборе, математика не разрывает эти два события, а сохраняет цепочку событий от начала до конца. Итак, как мы уже говорили ранее, шанс выигрыша при попадании сразу в полосу равен 1/3, а вероятность того, что мы выберем ячейку с монетой, равна 2/3 (так как у нас есть полоска и две монеты).
Далее мы опишем все возможные случаи развития событий при условии упомянутого выше классического поведения менеджера, в нашем случае банкира.
- Сначала выбираем ячейку банка со станком — вероятность 1/3.
- Если игрок меняет свой выбор, принимая предложение банкира, он проигрывает.
- Если игрок не меняет своего выбора, не приняв предложение банкира, он выигрывает.
- Выбираем с первого раза банковскую ячейку с монетой — вероятность 2/3.
- Если игрок меняет свой выбор, он выигрывает.
- Если игрок не меняет свой выбор, он проиграл.
Итак, чтобы игрок вышел из банка с золотым слитком в кармане, он должен выбрать начальную проигрышную позицию с монетой (вероятность 1/3), а затем принять предложение банкира поменяться ячейками.
Чтобы понять этот парадокс и вырваться из цепочек исходного паттерна выбора и оставшихся ячеек, давайте представим поведение игрока с точностью до наоборот. Прежде чем банкир предложит ячейку на выбор, игрок мысленно точно определяет, что он изменит свой выбор, и только после этого следует событие, открывающее ему дополнительную дверь. Почему бы и нет? В конце концов, открытая дверь не дает ему больше информации в таком логическом порядке. В первый раз игрок делит клетки на две разные области: первая — это область с одной ячейкой с первым выбором, вторая — с двумя оставшимися ячейками. Затем игрок должен выбрать между двумя областями. Вероятность получить золотой слиток из клетки из первой области 1/3, из второй 2/3. Выбор следует за второй областью, где он может открыть две ячейки, первую откроет банкир, вторую — он сам.
Есть еще лучшее объяснение парадокса Монти Холла. Для этого нужно изменить формулировку в задании. Банкир дает понять, что в одной из трех банковских ячеек находится золотой слиток. В первом случае он предлагает открыть одну из трех ячеек, а во втором — сразу две. Что выберет игрок? Ну конечно сразу два, удвоив вероятность. А момент, когда банкир открыл ячейку с монетой, это на самом деле никак не помогает игроку и не мешает выбору, потому что банкир все равно покажет эту ячейку с монетой, так что игрок может просто проигнорировать это действие . Со стороны игрока можно только поблагодарить банкира за то, что он облегчил ему жизнь, и вместо двух ему пришлось открыть ячейку. Ну, наконец-то избавиться от синдрома парадокса можно, если поставить себя на место банкира, который в принципе знает, что игрок указывает не на ту дверь в двух из трех случаев. Для банкира парадокса как такового нет, ибо он уверен в такой инверсии событий, что игрок забирает золотой слиток в случае изменения событий.
Парадокс Монти Холла явно не позволяет победить консерваторам, которые непреклонны в своем первоначальном выборе и теряют шанс увеличить вероятность. Для консерваторов останется 1/3. У бдительных и здравомыслящих людей она увеличивается до более чем 2/3.
Все вышеперечисленные утверждения актуальны только в соответствии с изначально оговоренными условиями.
Формулировка проблемы
Существует множество интерпретаций этого парадокса, но мы решили представить вам классическую, которая была показана в самой программе. Итак, перед вами три двери. За одним из них машина, за двумя другими по козе. Ведущий предлагает вам выбрать одну из дверей, и допустим вы останавливаетесь под номером 1. Пока вы не знаете, что находится за этой самой первой дверью, как вам открывают третью и показывают, что там стоит коза позади. Следовательно, вы еще не проиграли, потому что не выбрали дверь, скрывающую проигрышный вариант. Таким образом, ваши шансы получить автомобиль увеличиваются.
Но тут ведущий предлагает вам передумать. Перед вами уже две двери, за одной козел, за другой заветный приз. Именно в этом суть проблемы. Кажется, какую бы из двух дверей вы ни выбрали, шансы 50/50. Но на самом деле, если вы передумаете, вероятность выигрыша увеличится. Как?
Таблица поведения Монти Холла
Как мы упоминали в самом начале, ведущий Монти Холл в классическом сценарии игры с дверями, козами и призовой машиной может изменить условия игры, а вместе с ней и вероятность выигрыша.
Таблица поведения Монти Холла.
Ставки на вылет фаворита из турнира
Допустим, вы хотите сделать ставку на победителя футбольного кубка в одной из стран. Или обладатель Кубка Стэнли. На момент изучения линии в игре осталось пять команд. Это означает, что одна полуфинальная пара полностью известна. В другом полуфинале известен один участник, а еще две команды не играли в своем четвертьфинале.
У кубка прямо сейчас есть явный фаворит — это одна из команд-полуфиналистов. Теперь на ее окончательную победу можно поставить с коэффициентом 1,75. Это соответствует примерно 54,5% вероятности. Кроме того, букмекеры предлагают коэффициент 2,08 на то, что эта команда не выиграет кубок. Перефразируя, получится примерно так: это ставка на то, что трофей отправит любой другой команде. Коэффициент 2,08 составляет в этом случае примерно 45,5% вероятности.
Предположим, что фаворит уверенно выигрывает свой полуфинал и выходит в финальный раунд. Разумеется, букмекеры тут же снизят шансы на его возможный успех. Вероятность будет около 70%, при этом шансы соперника будут оцениваться не выше 30%.
Поэтому перед полуфиналом пора вспомнить парадокс Монти Холла: перед финалом шансы аутсайдера будут не 30%, а 45,5%. Поэтому вполне можно рискнуть и поставить на победу андердога. Ну или хотя бы то, что более слабая команда будет отдыхать и не проигрывать в основное время.
Парадокс мальчика и девочки
Задача на первый взгляд абсурдная, но она строго следует математической формуле и имеет два решения. Итак, у одного мужчины двое детей. Один из них должен быть мальчиком. Какова вероятность того, что другой мальчик?
Вариант 1. Рассматриваем все сочетания двух детей в семье:
- Девушка/девушка.
- Девочка Мальчик.
- Мальчик девочка.
- Мальчик/мальчик.
Конечно, первая комбинация нас не устраивает, поэтому из трех последних мы получаем 1/3 вероятность того, что вторым ребенком будет человечек.
Вариант 2. Если представить такой случай на практике, отбросив дроби и формулы, то, исходя из того, что на земле всего два пола, вероятность того, что вторым ребенком будет мальчик, равна 1/2.
Решение парадокса
Интуитивно, не задумываясь о вероятностях, большинство людей думают, что после открытия сундука шансы угадать становятся 50/50, и нет причин менять свое мнение. Однако правильный ответ другой — нужно выбрать другой сундук, так как в этом случае вероятность стать обладателем клада удваивается.
Попробуем объяснить. Начнем с того, что шанс золота в любом из трех сундуков составляет 33,3%. Если участник шоу выберет сундук №1, то вероятность того, что сокровища спрятаны в одном из двух сундуков №2 или №3, составит 66,6%. Когда один из этих сундуков открыт, а по условиям задачи пуст, условно говоря, вероятность найти в нем золото становится нулевой, и на второй сундук из этой пары приходится те же 66,6%.
Как можно объяснить замешательство многих? Здравый смысл подсказывает человеку, что в момент, когда остается два сундука, у нас есть независимые события, когда мы выбираем один из них, но это не так. Это было бы верно, если бы первый выбор сундука был сделан после открытия пустого сундука.
По условиям задания участник делает первый выбор при тех же условиях (33,3% на каждый из сундуков), а второй — при изменении ситуации. Ведущий знает, где находятся сокровища, ведь по условиям задания он открывает пустой сундук. Соотношение шансов теперь будет 33,3/66,6. Первый раз вы делаете выбор случайным образом, а затем ведущий дает вам дополнительную информацию, которая увеличивает шансы на успех. Именно этот нюанс ускользает от внимания участников.
Чтобы попытаться дать максимально понятное и наглядное объяснение решения парадокса Монти Холла, иногда приводят аналогию с большим количеством гробов, например с тысячей. Выбирается один, затем открывается 998 бланков и снова остаются только два — с вероятностями 1/1000 и 999/1000.
Чтобы убедиться в правильности решения парадокса Монти Холла, воспользуйтесь доступными в сети онлайн-симуляторами. Полученные с их помощью результаты подтверждают, что отношение вероятности нахождения золота в сундуках распределяется примерно как 1/3 к 2/3.
Что если увеличить количество ячеек?
Что, если мы увеличим количество ячеек? Предположим, что вместо трех их будет 50. Только в одной ячейке будет лежать слиток золота, а в остальных 49 — монеты. Следовательно, в отличие от классического случая, вероятность попадания в цель на лету составляет 1/50 или 2% вместо 1/3, а вероятность выбора ячейки монетой составляет 98%. Далее ситуация развивается, как и в предыдущем случае. Банкир предлагает открыть любую из 50 ячеек, которую выбирает участник. Допустим, игрок открывает ячейку с порядковым номером 49. Банкир в свою очередь, как и в классическом варианте, не спешит исполнять желание игрока и открывает еще 48 ячеек с монетами и предлагает сменить свой выбор на оставшуюся под номером 50.
Здесь важно понимать, что банкир открывает именно 48 ячеек, а не 30, оставляя при этом 2, включая выбранную игроком. Именно этот выбор позволяет парадоксу идти вразрез с интуицией. Как и в случае с классическим вариантом, на выбор есть только один единственный вариант открытия 48 ячеек банкира. Случай с вариантом меньшего раскрытия ячеек не позволяет поставить задачу в один ряд с классикой и почувствовать парадокс.
Но так как мы уже коснулись этого варианта, то предположим, что банкир оставляет не одну, кроме выбранной игроком, а несколько клеток. Представлено, как и прежде, 50 ячеек. Банкир по выбору игрока открывает только одну ячейку, при этом оставляя закрытыми 48 ячеек, включая ту, которую выбрал игрок. Вероятность выбора слитка с первой попытки равна 1/50. В сумме вероятность найти барре в остальных клетках составляет 49/50, что опять же распространяется не на 49, а на 48 клеток. Нетрудно подсчитать, что вероятность найти слиток в этом случае равна (49/50)/48=49/2900. Вероятность хоть и не большая, но все же выше 1/50 примерно на 1%.
Трактовка в цифрах
Теперь дадим парадоксу Монти Холла более точное определение. Первый выбор игрока делит двери на две группы. Вероятность того, что приз находится за выбранной вами дверью, равна 1/3, а за остальными дверями 2/3. Затем ведущий открывает одну из дверей другой группе. Таким образом, он переносит всю оставшуюся вероятность 2/3 на дверь, которую вы не выбирали и которую он не открывал. Логично, что по таким расчетам будет выгоднее передумать. Но при этом важно помнить, что шанс проиграть все же есть. Иногда ведущие лукавят, так как можно изначально ткнуть в нужную призовую дверь, а потом добровольно от нее отказаться.
Все мы привыкли к тому, что математика как точная наука идет рука об руку со здравым смыслом. Здесь работают числа, а не слова, точные формулы, а не смутные мысли, координаты, а не относительные данные. Но ее новый раздел под названием «Теория вероятностей» взорвал все привычные стереотипы. Задачи в этой области, кажется, не укладываются в рамки здравого смысла и полностью противоречат всем формулам и расчетам. Ниже мы предлагаем вам ознакомиться с другими парадоксами в теории вероятностей, имеющими нечто общее с описанным выше.
Объяснение парадокса Монти Холла
Первый выбор, который вы делаете в этой игре, является случайным. Вы даже не можете догадаться, за какой из трех дверей спрятан приз, поэтому случайным образом указываете на первую попавшуюся. Менеджер, со своей стороны, знает, где что находится. У него есть дверь с призом, дверь, на которую вы указали, и третья без приза, которую он открывает вам как первую подсказку. Второй намек кроется в самом его предложении изменить выборы.
Теперь вы больше не будете выбирать одного из трех наугад, и даже сможете передумать, чтобы получить желаемый приз. Именно внушение ведущего дает человеку уверенность в том, что машина на самом деле находится не за той дверью, которую он выбрал, а за другой. В этом и вся суть парадокса, так как по сути вам все равно придется выбирать (пусть и из двух, а не из трех) наугад, но шансы на победу возрастают. По статистике, из 30 игроков, которые передумали, машину выиграли 18, а это 60%. И из тех же 30 человек, не изменивших своего решения, — всего 11, то есть 36%.
Подсказка
Попробуйте рассмотреть людей, выбравших разные двери в одном и том же случае (то есть когда приз находится, например, за дверью №1). Кому будет выгодно изменение выборов, а кому нет?
Как так?!
Вспомним теорию вероятности. В принципе, вероятность выбора каждой двери составляет 1/3. Мы исключаем одну дверь, и вероятность выбора каждой двери становится равной ½. Верно?
Нет. Верно. Садиться. Тебе сегодня 2.
Шансы выбрать приз за одной из 2-х дверей не равны. Потому что исключение одной двери создало новое событие, вероятность которого 1/3+1/3=2/3. А это значит, что шансы выиграть машину за новой дверью удваиваются.
Для вычисления вероятности в этой задаче достаточно знать основы теории вероятностей.
Ответ Монти Холла Стиву Селвину
12 мая 1975 г
Мистер Стив Селвин,
доцент кафедры биостатистики,
Калифорнийский университет, Беркли.Дорогой Стив,
спасибо, что прислали мне выпуск журнала American Statistical».
Хотя я не изучал статистику в университете, я знаю, что цифры всегда можно использовать в свою пользу, если я хочу ими манипулировать. В ваших рассуждениях не учитывается одно важное обстоятельство: после того, как первый ящик опустеет, участник уже не может изменить свой выбор. Так что вероятности остаются прежними: один к трем, верно? И конечно, после того, как один из ящиков опустеет, шансы не становятся 50/50, а остаются прежними — один к трем. Это только кажется, что, избавившись от одной коробки, участник получает больше шансов. Нисколько. Двое против одного против него, как было, так и осталось. А если вы вдруг придете ко мне на шоу, то правила для вас останутся прежними: никакого обмена ящиками после отбора.
В следующий раз я предлагаю играть на моем сайте. Я изучал химию и зоологию. Хотите знать, каковы ваши шансы на выживание с нашим загрязненным воздухом и водой?
С наилучшими пожеланиями,
Монти
Объяснение парадокса в фильме 21 (Двадцать одно)
Наглядное объяснение парадокса дано в фильме «21» (Twenty one) режиссера Роберта Лукетича. В лекции профессор Микки Роза приводит пример из шоу Let’s Make a Deal и спрашивает студента Бена Кэмпбелла (актер и певец Джеймс Энтони) о распределении вероятностей, кто дает правильную поправку и тем удивляет преподавателя.
Что говорит интуиция?
Парадокс заключается в том, что для большинства людей, привыкших мыслить логически, шансы на победу, если они изменят свой первый выбор, составляют 50 на 50. Ведь после того, как банкир открывает еще одну ячейку с монетой, отличной от исходного выбора игрока, 2 ячейки остаются, в одном слиток золота, а в другом монета. Игрок выигрывает слиток, если принимает предложение банкира поменять ячейку, при условии, что в изначально выбранной игроком ячейке не было слитка. И наоборот, при этом условии он проигрывает, если отказывается принять предложение.
Как подсказывает здравый смысл, вероятность сорвать барре и выиграть в этом случае равна 1/2. Но на самом деле ситуация другая! — Но как же так, здесь все очевидно? — ты спрашиваешь. Допустим, вы выбрали ячейку номер 1. Интуитивно, да, какой бы выбор у вас ни был изначально, в конце концов у вас фактически есть монета и слиток, прежде чем вы сделаете выбор. И если у вас изначально была вероятность получения приза 1/3, то в итоге при открытии ячейки банкира вы получаете вероятность 1/2. Вероятность, казалось, увеличилась с 1/3 до 1/2. После тщательного анализа игры оказывается, что при изменении решения вероятность возрастает до 2/3 вместо интуитивной 1/2. Давайте посмотрим, почему это происходит.
Как применяется в ставках на спорт
Ставки на спорт неразрывно связаны с понятиями теории вероятностей. В Интернете есть статьи, в которых рассказывается, как использовать парадокс Монти Холла в ставках на спорт:
- Игрок, проанализировав матч, пришел к выводу, что в игре с сопоставимыми по силе соперниками следует ставить на победу команды 1 над командой 2. В день матча появилась информация, что ключевые игроки команды 1 не будет участвовать в игре. Игрок на основании новой информации переоценивает вероятность победы одной из команд и меняет свое решение на противоположное.
- ставка на аутсайдера с завышенным коэффициентом эквивалентна стратегии ставок, использующей парадокс Монти Холла. Это мотивировано тем, что необходимо правильно определить вероятность исхода и сделать игру на вэлью.
- Матч выбирается по трем равновероятным исходам (победа, ничья, поражение), а затем, исходя из текущей ситуации в игре, авторы пытаются «привязать» решение задачи к действиям игрока. На наш взгляд, парадокс Монти Холла никак не проецируется на случай с тремя исходами матча и возможным выпадением одного из них. На самом деле до самого конца ни один из вариантов не может быть отвергнут со 100% вероятностью, и ситуация в матче с учетом коэффициентов будет совсем иной, чем в начале.
- Некоторые авторы вспоминают парадокс в отношении бесплатных ставок букмекеров. Они утверждают, что все бесплатные игры являются маркетинговыми усилиями организаторов игр и не могут приносить пользу. А игроки, не производящие вероятностную оценку условий получения бесплатной игры, становятся заложниками ситуации. Во-первых, это не связано напрямую с парадоксом, а лишь с базовыми знаниями теории вероятностей (как и другие примеры), а во-вторых, бесплатные игры бывают разные, и некоторые из них могут быть интересны игрокам.
- Этот пример используется чаще других. Три клуба имеют равные (условные) шансы на вылет из высшего дивизиона. Один из них можно спасти. Каждый из них должен сыграть по одному матчу. Мы должны выбрать команду, которая сохранит место в высшей лиге. Оценив ситуацию, выбираем один клуб из трех. Одна из двух оставшихся команд доигрывает свою игру и проигрывает, теряя все шансы остаться в элите. Выбор ограничен двумя клубами, и парадокс Монти Холла заключается в том, что, изменив наш выбор, мы удвоим наши шансы на победу по сравнению с первоначальным решением.
Примеры приведены с единственной целью показать искусственную, а то и откровенно ложную «привлекательность» парадокса Монти Холла к конкретным случаям ставок на спорт. В последнем примере ошибка принципиальная: по сравнению с классической трактовкой парадокса Монти Холла (где золото заранее лежит в одном из сундуков), в случае борьбы за «выживание» две трефы имеют равные шансы – тут у нас независимые события («сейвы» какой-то команды)
Трудно вообразить, где можно смоделировать условия парадокса Монти Холла. На наш взгляд, эта проблема не имеет прямого применения в ставках. Парадокс лишь косвенно связан со ставками в том смысле, что игрокам, которые хотя бы не хотят проигрывать, необходимо понимать основы теории вероятностей. Игрок должен иметь возможность оценить уровень котировки, движение линии, вероятность событий с учетом изменившейся ситуации, чтобы сделать ставку на стоимостной коэффициент.
Еще один урок касается психологии — нельзя действовать по первому порыву, интуитивно (здравый смысл иногда может ввести нас в заблуждение). Требуется серьезный анализ и математический расчет.
Математика парадокса
Могут ли математические формулы доказать увеличение вероятности при смене выборов?
Представим себе цепочку событий как множество, разделенное на две части, первая часть будет принята за X — это выбор игрока на первом этапе безопасной камеры; а второй набор Y — оставшиеся две оставшиеся ячейки. Вероятность (В) выигрыша для ячеек 2 и 3 может быть выражена с помощью формул.
В(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
В(3) = 1/2 * 2/3 = 1/3
Где 1/2 — вероятность того, что банкир откроет ячейки 2 и 3, при условии, что игрок сначала выбрал ячейку без блока.
При этом условная вероятность 1/2 изменяется, когда банкир открывает ячейку с монетой, на 1 и 0. Тогда формулы имеют следующий вид:
В(2) = 0 * 2/3 = 0
В(3) = 1 * 2/3 = 1
Здесь мы ясно видим, что вероятность выбора слитка в ячейке 3 составляет 2/3, что составляет чуть более 60 процентов.
Начинающий программист может легко проверить этот парадокс, написав программу, вычисляющую вероятность изменения выбора или наоборот, и проверив результаты.